工业机器人轨迹规划的研究方法综述

在智能化时代的大背景下，通过大量的生产实践证明，工业机器人对于提高自动化生产水平，提高生产效率、生产质量及经济效益，改善劳动工人的生产条件，起着至关重要的作用[1]。随着世界智能制造行业的快速发展，工业机器人的发展得到进一步提升，现已广泛应用于焊接、搬运、码垛、涂装、机械加工等行业[2-4]。 

工业机器人是一种具备编程能力，可以根据所编写的程序来控制末端执行器去完成任务的机器，一般形式为多轴机械臂，在程序的控制下，它可以在3维空间内平移和旋转。由于工业机器人的多变量、非线性、控制较复杂等特征，并且易受工作环境的影响，因此对运动控制的研究一直是工业机器人的研究重点和难点。轨迹规划是工业机器人运动控制的基础，将直接影响其运动稳定、工作效率及能量损耗[5]。 

工业机器人的轨迹规划是指：已知作业任务的要求，在笛卡儿空间或者关节空间内规划出机器人末端的运行轨迹，也就是要建立机器人在运动过程中时间与空间的函数关系，在轨迹规划上，还要考虑到机器人的性能。所以，工业机器人的轨迹规划一般表示为位移、速度、加速度等运动量关于时间的函数，该函数可以精确地描述工业机器人在任意时间的位置信息和姿态信息[6]。工业机器人轨迹规划的一般流程如图 1所示。 

图  1  轨迹规划的常规流程

如果以规划变量的求解空间作为分类依据，那么工业机器人的轨迹规划将分为笛卡儿空间轨迹规划和关节空间轨迹规划[9]。 

笛卡儿空间轨迹规划是指在笛卡儿坐标系中规划运动轨迹，使得机器人或其他运动系统能够在给定的起始点和目标点之间执行运动。在笛卡儿坐标系中，位置用坐标(x，y，z)来表示，规划轨迹就是确定这些坐标随时间的变化。笛卡儿空间轨迹规划的对象一般是工业机器人末端执行器的运动量，如位移、速度、加速度等，这些运动量可以直观清楚地反映出机器人末端执行器的运动情况[10]。但是，一般还需要通过求运动学逆解来得到机器人关节的运动信息，才可作为机器人运动的输入量。 

关节空间轨迹规划是指在机器人或运动系统的关节空间中规划运动轨迹，即确定各个关节角度随时间的变化，以实现所需的运动任务。相比于笛卡儿空间轨迹规划，关节空间轨迹规划更加直接，能够更精确地控制机器人的运动。关节空间轨迹规划的对象是机器人的关节变量、关节角速度、关节角加速度等运动量，因此关节空间轨迹规划所求得的运动信息可以直接作为机器人运动的输入量，不必进行求运动学逆解，可以减少轨迹规划的工作量和计算时间[11-12]。但是，关节空间轨迹规划并不能直观地体现出机器人末端执行器的运动轨迹，也未对其运动轨迹施加约束。 

笛卡儿空间与关节空间的轨迹规划的特点对比与适用场合如表 1所示。需要注意的是，对于不同的应用场景和任务需求，可能需要结合具体情况来选择合适的轨迹规划方法和算法，以满足实际的需求[13]。为了便于使用，目前的机器人通常采用关节空间轨迹规划，只有当机器人的末端轨迹有特殊要求时才采用笛卡儿空间轨迹规划[14]。 

表  1  笛卡儿空间与关节空间轨迹规划性能特点比较

如果以是否采用优化算法从而寻求最优轨迹作为分类依据，那么工业机器人的轨迹规划方法将分为基本轨迹规划方法和最优轨迹规划方法[15]。 

基本轨迹规划是一种简单直接的运动规划方法，通常使用插值来生成运动轨迹，常用的插值曲线有直线、圆弧、多项式曲线、S型曲线、B样条曲线等[16]。基本轨迹规划适用于简单的运动任务和环境，不涉及复杂的约束条件或优化目标，常用于快速生成运动轨迹的基本规划[17]。 

最优轨迹规划是在给定约束条件下来寻找最优解的运动规划方法，通常涉及目标函数和优化算法，通常有3个优化目标：时间、冲击和能耗[18]。最优轨迹规划方法更加的复杂且计算密集，通常需要考虑系统的动力学模型、约束条件和目标函数的选择，适用于需要考虑运动质量、能耗、时间最优等优化目标的复杂运动任务。常用于工业机器人、自动驾驶车辆等需要高效运动控制的领域[19-20]。 

基于优化目标的轨迹规划方法分类如图 2所示。近年来，由于对工业机器人工作质量要求的提高，一般都需在做完基本轨迹规划后，通过智能算法来寻求最优轨迹。 

图  2  基于优化目标的轨迹规划方法分类

如果以机器人的末端轨迹是否连续作为分类依据，那么工业机器人的基本轨迹规划方法可以分为点到点运动轨迹规划和连续路径轨迹规划[21]。点到点运动轨迹规划通过规划系统从一个点到另一个点的运动轨迹来实现目标，适用于需要从一个固定的起始点到达目标点的简单运动任务，如机械臂从初始位置移动到指定位置的操作。连续路径轨迹规划是在运动系统的连续路径上进行规划，通过插值或优化技术生成平滑的运动轨迹，适用于需要运动系统在连续路径上进行运动的任务，如曲线运动、圆弧运动或自由度连续变化的运动[22]。 

在工业机器人中，点到点运动轨迹规划是一种常见的轨迹规划方法，用于实现从一个点到另一个点的平滑运动。它适用于那些需要机器人在不同位置之间进行准确定位的任务，如物料搬运、装配、加工等[23]。工业机器人的点到点运动轨迹规划通常采用的插值曲线有：直线、多项式曲线、S型曲线等。 

直线轨迹规划是一种常见的运动规划方法，用于确定系统在笛卡儿空间中沿直线路径运动的轨迹。直线轨迹规划一般采用将归一化后的直线等距或等时插补得到，其插补算法为 

(1)    

式中，x₀、y₀、z₀、α₀、β₀、γ₀为机器人末端的初始位姿；x_n、y_n、z_n、α_n、β_n、γ_n为机器人末端的终止位姿；λ为归一化算子，其轨迹即为初始点到终止点的直线。 

在规划工业机器人的直线轨迹时，系统中的起始位置和目标位置用齐次变换矩阵表示，工作点用线段插值，直线之间用抛物线平滑过渡。为了保证机器人末端直线运动的连续性，国内外研究人员提出了直线加减速的规划方法。其位置、速度、加速度曲线如图 3所示。 

图  3  直线加减速规划位置、速度、加速度曲线

图  4  典型S型曲线的速度、加速度、冲击曲线

在工业机器人中，连续路径轨迹规划是指机器人末端执行器沿着一条连续曲线或路径运动的规划方法。这种轨迹规划方法可以应用于各种工业应用，如自动化装配、焊接、喷涂等[33]。工业机器人的连续路径轨迹规划通常采用的插值曲线有：圆弧、B样条曲线。 

圆弧轨迹规划是工业机器人中常用的轨迹规划方法之一，用于实现机器人末端执行器沿着圆弧路径进行运动，一般可以分为空间圆弧轨迹规划和平面圆弧轨迹规划，具有很多实用的优良特性。空间圆弧插补轨迹如图 5所示。 

图  5  空间圆弧插补轨迹

B样条曲线是一种常用的曲线插值和逼近方法，它也可以用作于轨迹规划的插值曲线。B样条曲线轨迹规划在工业机器人应用中被广泛采用，用于实现平滑的运动轨迹，其曲线方程可表示为 

(4)

式中，n为轨迹段数，d_i为控制顶点，N_i，k(u)为k次规范B样条基函数。 

B样条曲线具有平滑的特性，可以实现机器人在运动过程中的平滑变化，减少震动和冲击，提高运动的稳定性和精度。B样条曲线可以逼近复杂的曲线形状，并允许调整控制点的位置和权重，以满足不同的轨迹要求。B样条曲线可以具有高阶连续性，即1阶、2阶或更高阶的连续性，可以满足不同应用对曲线平滑性和连续性的要求[38]。所以，B样条曲线在需要完成精确曲线路径的应用中特别有用，例如曲线焊接、轮廓切割和喷涂等。 

但是B样条曲线轨迹规划的计算复杂度较高，尤其是在处理大量控制点和高阶连续性要求时，需要更多的计算资源和时间。此外，B样条曲线的逼近精度还受控制点密度和曲线阶数的影响。梅江平等[39]以5次非均匀B样条曲线作为轨迹插值曲线，与3 - 4 - 5多段多项式曲线轨迹相比，关节加速度的最大减少量可以达到20%，在水平运动方向上减小了29. 65%。司艳伟等[40]对3次B样条曲线和7次B样条曲线做了对比研究，结果表明3次B样条曲线比7次B样条曲线的运算效率更高，并且可以避免产生龙格现象。 

综上所述，分析了各种基本轨迹规划方法的优缺点以及应用场合，总结如表 2所示。 

表  2  基本轨迹规划方法特点对比

机器人的最优轨迹规划旨在找到机器人在执行任务时的最优路径，用来满足特定的性能指标和约束条件。在工业机器人领域，最优轨迹规划的目标通常是通过综合考虑生产效率、能耗、安全性和操作要求等因素来寻找最佳的运动轨迹，以提高生产效率、精度和安全性。现在的最优轨迹规划研究主要包括：时间最优、冲击最优、能耗最优及多目标优化[41-42]。最优轨迹规划需要综合考虑优化目标、运动学和动力学、避障和碰撞检测、实时性、环境适应性、安全性、反馈和调整等因素，确保在实际应用中能够提供高效、安全、可靠的运动控制。选择适当的算法和方法，以平衡不同目标之间的权衡。 

解决工业机器人最优轨迹问题的一般思路和步骤如图 6所示。 

图  6  最优轨迹规划的一般步骤

式中，k_T 和k_J 为权衡系数，是关节冲击，t_f 是轨迹总运行时间，h_i 是单段轨迹运行时间，V_P-1 是轨迹途径点数量，N是机器人关节数量。

3) Pareto最优解集分析。Pareto最优解集分析[66]是多目标优化轨迹规划的重要步骤。通过对生成的非劣解集进行分析，可以了解各个解在不同目标之间的权衡关系。可以利用可视化方法，如散点图、Pareto前沿图等，将非劣解集进行展示和比较，帮助用户选择最优的轨迹规划解决方案。 

4) 权衡和优化策略。在多目标优化轨迹规划中，需要考虑不同目标之间的权衡和优化策略。可以通过设定目标权重、定义约束条件、设置优化算法的参数等方式进行权衡和调整。同时，也可以采用多级规划、多次迭代等策略，逐步优化轨迹规划结果，实现多目标的平衡和最优化。 

多目标优化轨迹规划能够综合考虑多个目标，在工业机器人的应用中具有重要意义。它可以在不同场景下灵活应用，如物料搬运、装配任务、路径规划等，以实现高效、安全和可靠的机器人运动。 

基于实际工况的多目标最优轨迹规划是指在考虑实际工作环境和任务需求的基础上，针对多个优化目标进行轨迹规划，以实现最佳性能和效果。这样的多目标规划方法能够在不同工作条件下综合考虑各种因素，如时间、能耗、安全性、负载平衡等，从而得到适应性强、全面优化的轨迹规划结果。以下是实现基于实际工况的多目标最优轨迹规划的一些建议。 

1) 目标定义与权衡。明确定义多个优化目标，可能包括最短时间、最小能耗、最小冲击力、最小负载震荡等。在这些目标之间进行权衡，确保不同目标之间的关系得到合理考虑。 

2) 环境感知。使用传感器和感知技术获取实时的环境信息，包括障碍物、工作状态、资源利用等。这对于规划需要考虑实际工作环境的轨迹至关重要。 

3) 动态更新。考虑工作环境的动态性，确保轨迹规划算法具有实时性，能够在环境变化时进行及时调整。这可以通过实时感知和路径重规划来实现。 

4) 多层次规划。采用多层次的规划方法，将整个轨迹规划过程划分为不同层次，例如全局路径规划和局部轨迹规划。这样可以更好地适应不同尺度和复杂度的问题。 

5) 约束考虑。考虑机器人和工作环境的物理和技术约束，确保生成的轨迹是可行的。这可能包括关节极限、速度限制、负载要求等。 

6) 优化算法选择。根据具体问题的特点选择合适的优化算法。例如，遗传算法、粒子群优化、模拟退火等算法在多目标优化问题上有一定的优势。 

7) 实验验证。在实际工况中进行实地实验和验证，收集实际运行数据，并根据反馈不断优化轨迹规划算法。 

8) 可视化与解释性。提供可视化工具，帮助用户理解轨迹规划的结果。解释性强的规划结果更容易被工程师和操作人员接受和调整。 

综合考虑这些因素，可以开发出适应不同实际工况的多目标最优轨迹规划系统，提高工业机器人在复杂环境中的自主性和适应性。 

基于机器学习的轨迹规划是一种利用机器学习方法和技术来进行路径规划和轨迹生成的方法[67-68]。它通过从大量的数据中学习规律和模式，以及对环境和任务进行建模，从而生成高质量的机器人轨迹。以下是基于机器学习的轨迹规划的一些常见方法和技术。 

1) 监督学习。监督学习是最常见的机器学习方法之一，适用于从已有的数据中学习并预测新的轨迹。在监督学习中，机器人可以通过使用带有标签的训练数据，如输入状态和相应的轨迹，来学习规律和模式。一旦模型被训练好，它可以根据输入状态来预测合适的轨迹。 

2) 强化学习。强化学习是一种通过与环境进行交互来学习最优行为的机器学习方法。在轨迹规划中，机器人可以通过与环境进行交互来学习最佳轨迹。它通过尝试不同的行为，并根据环境给予的奖励或惩罚来调整策略，以实现更好的轨迹规划结果。 

3) 生成对抗网络(generative adversarial network，GAN)。生成对抗网络是一种用于生成新数据的机器学习框架。在轨迹规划中，可以使用GAN来生成逼真的轨迹样本。GAN包括一个生成器网络和一个判别器网络，它们通过对抗训练来提高生成器网络生成的轨迹的质量。 

4) 迁移学习。迁移学习是一种将已经学到的知识和经验应用于新任务的机器学习技术。在轨迹规划中，可以利用先前学习到的知识和经验，通过迁移学习来加快和改进轨迹规划的训练过程。 

基于机器学习的轨迹规划方法可以适用于各种机器人应用场景，如自动驾驶、工业机器人操作、无人机飞行等。它能够充分利用大量的数据和学习算法来生成更智能和适应性更强的轨迹规划方案，从而提高机器人的运动效率和安全性。然而，需要注意的是，在使用机器学习方法进行轨迹规划时，数据质量、算法选择和模型泛化能力等因素都需要仔细考虑和处理，以确保规划的准确性和可靠性。 

多机器人的轨迹规划是指在多个机器人协同工作的情况下，对它们的运动轨迹进行规划和协调，以实现任务的高效完成[69]。多机器人轨迹规划面临的挑战包括避免碰撞、协同任务分配、路径规划和协同路径跟踪等。以下是几种常见的多机器人轨迹规划方法。 

1) 集中式规划。集中式规划方法将多个机器人的轨迹规划问题转化为一个集中式的优化问题。通过考虑所有机器人的状态和目标，并设计适当的目标函数和约束条件，可以在全局层面上进行规划和优化。这种方法可以充分考虑多机器人之间的协同和碰撞避免，但计算复杂度较高。 

2) 分布式规划。分布式规划方法将轨迹规划问题分解为多个子问题，每个机器人独立地进行轨迹规划。机器人之间通过通信交换信息，并协同完成任务。常见的分布式规划方法包括协同搜索、协同优化等。这种方法具有较低的计算复杂度，但可能存在协同和一致性方面的挑战。 

3) 协同路径规划。协同路径规划方法考虑多个机器人之间的相互作用和碰撞避免。机器人根据任务要求和环境约束，共同制定路径规划策略。常见的协同路径规划方法包括虚拟结构方法、协同膨胀方法等。这种方法可以确保多个机器人之间的安全和协同工作，提高整体效率。 

4) 混合规划方法。混合规划方法结合了集中式和分布式规划的优势，通过在全局和局部层面上进行规划和决策。在混合规划中，可以将全局目标和局部约束相结合，利用集中式和分布式规划的思想来实现多机器人轨迹规划。这种方法可以平衡全局和局部决策的权衡，并解决规划过程中的复杂性和效率问题。 

多机器人轨迹规划方法的选择取决于具体的应用场景和需求，需要综合考虑机器人数量、任务复杂度、通信能力、环境约束等因素，选择合适的方法来实现多机器人之间的协同和规划。同时，算法的可扩展性、计算效率和实时性也是需要考虑的因素。 

在轨迹规划中，动态避障问题是指机器人在移动过程中需要实时检测和回避动态障碍物的情况[70]。这些动态障碍物可能是其他移动物体、行人、车辆等，它们的位置和运动状态是不断变化的，因此需要在规划过程中考虑它们的存在，以确保机器人的安全和顺利移动。以下是一些常见的动态避障问题的解决方法。 

1) 感知和检测。为了解决动态避障问题，机器人需要具备感知和检测能力，能够实时获取周围环境的信息。这可以通过传感器如激光雷达、摄像头、超声波传感器等来实现。机器人可以使用这些传感器来检测和跟踪动态障碍物的位置、速度和运动方向。 

2) 预测和预测模型。在动态避障中，机器人需要根据已有的障碍物信息和运动模式，对障碍物的未来位置和轨迹进行预测。这可以通过使用运动模型、概率方法、机器学习等技术来实现。通过预测障碍物的运动，机器人可以在规划过程中避开可能的碰撞路径。 

3) 路径规划和动态规划。基于感知和预测的信息，机器人可以使用路径规划算法进行动态规划，找到避开动态障碍物的最优路径。常见的方法包括A算法、D算法、RRT* (Rapidly-exploring Random Tree)算法等。这些算法可以根据环境和动态障碍物的变化进行实时更新和重新规划。 

4) 协同和通信。在多机器人系统中，动态避障涉及到机器人之间的协同和通信。机器人可以通过共享感知信息和规划结果，实现协同避障。通过有效的通信和协作机制，机器人可以相互协调动作，避免碰撞，并实现任务的协同完成。 

动态避障问题的解决需要综合考虑机器人的感知能力、规划算法、运动控制及与环境和其他机器人的交互能力。同时，需要根据具体的应用场景和需求选择合适的方法和技术，以提供安全、高效的动态避障能力。 

基于智能感知的自主实时轨迹规划是指机器人通过智能感知技术，实时获取环境信息，并根据获取的信息进行实时的轨迹规划和路径生成[71-72]。这种方法允许机器人根据环境的动态变化，灵活地调整轨迹，以应对不同的障碍物和情况，实现自主和智能的移动。以下是基于智能感知的自主实时轨迹规划的一般思路和关键步骤。 

1) 环境感知。机器人通过使用各种传感器(如激光雷达、摄像头、超声波传感器等)来感知和获取周围环境的信息。这些传感器可以提供地图、障碍物位置、速度、尺寸等相关数据，帮助机器人理解当前环境。 

2) 障碍物检测和跟踪。通过感知数据的处理和分析，机器人可以检测和跟踪环境中的障碍物。这可以通过使用图像处理、目标检测和跟踪算法等来实现。机器人可以识别障碍物的类型、位置、速度等信息。 

3) 地图构建和更新。基于感知和障碍物的检测结果，机器人可以构建环境地图，包括障碍物的位置、形状、大小等信息。这些地图可以用于路径规划和轨迹生成过程中的决策。 

4) 路径规划和轨迹生成。根据感知数据和地图信息，机器人使用路径规划算法来选择最佳路径。常见的路径规划算法包括A算法、D算法、RRT*算法等。基于选择的路径，机器人可以使用运动规划算法生成实时轨迹，考虑机器人的动力学限制和环境约束。 

5) 实时调整和决策。在移动过程中，机器人通过不断感知和检测环境的变化，实时调整轨迹并做出决策。这可以通过对感知数据的实时处理和对当前轨迹的评估来实现，确保机器人能够安全、高效地避开障碍物或调整轨迹。 

基于智能感知的自主实时轨迹规划可以适用于各种机器人应用场景，如自动驾驶、无人机飞行、工业机器人操作等。它允许机器人在动态和复杂的环境中做出智能的决策，提高运动的安全性和效率。 

基于虚拟现实(virtual reality，VR)技术的轨迹规划是一种利用虚拟环境来模拟和优化轨迹规划的方法。这种方法通过在虚拟环境中进行轨迹规划，可以有效地测试和优化算法，减少对实际系统的依赖，并在更安全的环境中进行实验。以下是基于虚拟现实的轨迹规划的一些关键方面。 

1) 虚拟环境建模。创建虚拟环境，包括模拟实际工作场景、机器人模型、障碍物等。这可以使用虚拟现实建模软件或游戏引擎来实现。 

2) 感知模拟。模拟传感器数据，如激光雷达、相机、超声波等，以提供虚拟机器人对环境的感知。这有助于测试感知算法在不同场景下的性能。 

3) 动力学和运动学模拟。在虚拟环境中模拟机器人的动力学和运动学特性。这可以包括轮式机器人、机械臂等，确保规划的轨迹在实际机器人上是可行的。 

4) 轨迹规划算法测试。在虚拟环境中测试不同的轨迹规划算法。通过模拟多种场景和任务，可以评估算法的性能和鲁棒性。 

5) 多目标最优化。在虚拟环境中进行多目标最优化轨迹规划的实验。这可以涉及到不同的优化目标，如最短路径、最小能耗、最小冲击力等。 

6) 实时交互。利用虚拟现实的实时性，使用户能够实时交互和调整轨迹规划参数。这有助于工程师优化轨迹规划算法和路径。 

7) 用户培训。利用虚拟现实技术进行用户培训。在虚拟环境中，操作员可以学习如何与机器人进行交互、调整轨迹规划参数等。 

8) 结果可视化。提供直观的结果可视化，使用户能够更清晰地了解虚拟环境中的轨迹规划效果。 

基于虚拟现实技术的轨迹规划方法可以加速算法的开发和测试过程，提高系统的安全性和可靠性。这种方法对于在实际环境中难以测试的复杂场景和情况尤为有用。 

轨迹规划的研究是工业机器人运动控制的基础，直接决定了其工作质量。本文分析了各种基本轨迹规划方法的优缺点和适用场合，讨论了各种最优轨迹规划方法的特点及存在的问题，并指出了工业机器人轨迹规划研究的发展趋势。主要结论包括： 

1) 根据规划空间或者优化目标的不同，可以对工业机器人的轨迹规划方法进行分类。如果以规划变量的求解空间作为分类依据，那么轨迹规划将分为笛卡儿空间轨迹规划和关节空间轨迹规划；如果以是否采用优化算法从而寻求最优轨迹作为分类依据，那么轨迹规划方法将分为基本轨迹规划方法和最优轨迹规划方法。 

2) 工业机器人的基本轨迹规划方法可以分为点到点运动轨迹规划和连续路径轨迹规划。其中，点到点轨迹规划常用的插值曲线有直线、多项式曲线、S型曲线等；连续路径轨迹规划常用的插值曲线有圆弧、B样条曲线等。 

3) 工业机器人的最优轨迹规划是在基本轨迹规划的基础上，对时间、冲击、能耗等目标进行优化，以寻求最优轨迹。优化时间可以提高机器人的生产效率和加快运动速度，优化冲击可以提高机器人的稳定性和运动质量，优化能耗可以提高能源的利用率和降低生产成本。在实际运用中，经常需要同时考虑多个优化目标，以实现多个目标的平衡和最优化。 

4) 在未来对轨迹规划的研究中，基于实际工况的多目标最优轨迹规划、基于机器学习的轨迹规划、多机器人的轨迹规划、轨迹规划的动态避障问题、基于智能感知的自主实时轨迹规划、基于虚拟现实技术的轨迹规划将是工业机器人轨迹规划研究的发展趋势。